Question

已知橢圓mx²+ny²=1與直線x+y=1相交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM的斜率為，則的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由題意可得，的值，將A，的坐標(biāo)代入橢圓方程得到兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，將值代入求出的值．
解答：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
由題意可得=， ①
因?yàn)锳，B在橢圓上
所以mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0 ②
所以，
即，
所以

故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓相交的性質(zhì)的應(yīng)用，要注意靈活應(yīng)用題目中的直線的中點(diǎn)及直線的斜率的條件的表示，本題中設(shè)而不求的解法是處理直線與圓錐取消相交中涉及到斜率與中點(diǎn)時(shí)常用的方法，比較一般聯(lián)立方程得方法可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算