Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面的概率都是，棋盤上標有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站（從n到n+1），若擲出反面，棋子向前跳兩站（從n到n+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營），或跳到第100站（失敗集中營）時該游戲結束，設棋子跳到第n站的概率為P（n）；
（1）求P（1），P（2）；
（2）求證：數列{P（n）-P（n-1）}是等比數列（n∈N^﹡，n≤99）；
（3）求P（99）及P（100）的值．

Answer 1

解：（1）根據題意，棋子跳到第n站的概率為P（n），
則P（1）即棋子跳到第一站，有一種情況，即擲出正面，故P（1）=，
則P（2）即棋子跳到第2站，有2種情況，即兩次擲出正面或一次擲出反面，則P（2）=×+=，
（2）根據題意，棋子要到第n站，有兩種情況，（2≤n≤99）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時擲出正面，其概率為P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時擲出反面，其概率為P（n-2），
則P（n）=P（n-1）+P（n-2），
進而可得P（n）-P（n-1）=-[P（n-1）-P（n-2）]，（2≤n≤99，n∈N），
故數列{P（n）-P（n-1）}是等比數列，
（3）由（1）可得，P（2）-P（1）=，
由（2）可得，{P（n）-P（n-1）}是公比為-的等比數列，
進而可得：P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1）
=[1-（-）ⁿ]+，
故P（99）=[2-（）⁹⁹]；
P（100）=[1+（）⁹⁹]．
分析：（1）根據題意，則P（1）即棋子跳到第一站，有一種情況，即擲出正面，進而可得答案，P（2）即棋子跳到第2站，有2種情況，即兩次擲出正面或一次擲出反面，即可得答案；
（2）根據題意，棋子要到第n站，有兩種情況，由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時擲出正面，或由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時擲出反面，進而可得P（n）=P（n-1）+P（n-2）；變形可得P（n）-P（n-1）=-[P（n-1）-P（n-2）]，由等比數列的判斷方法即可證明；
（3）結合（1）（2）可得，P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1），進而可得P（n）的表達式，代入數字，可得答案．
點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式與等比數列的判定及應用，有一定難度，是高考的方向，平時注意這方面的訓練．