Question

已知：函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為，求a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞）使f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，然后再根據(jù)切線的傾斜角求出切線的斜率，兩個斜率相等即可求出a的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a小于等于0時，由x大于0，得到導(dǎo)函數(shù)小于0，即函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，又x=0時f（x）的值為-4且當(dāng)x大于0時，f（x）小于-4，所以當(dāng)a小于等于0時，不存在x＞0，使f（x）＞0；當(dāng)a大于0時，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最大值，讓最大值大于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿足題意a的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，∴-3+2a=1，即a=2．（4分）
（2）．
①若a≤0，當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時，f（x）＜-4．
∴a≤0時，不存在x＞0，使f（x）＞0．（8分）
②若a＞0，則當(dāng)時，f'（x）＞0，當(dāng)時，f'（x）＜0．從而f（x）在上
單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，
=，據(jù)題意，，即a³＞27，∴a＞3．
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）．（12分）
點評：此題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．