Question

設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為；求p的值及圓F的方程；
（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對(duì)稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離，由△ABD的面積S_△ABD=，知=，由此能求出圓F的方程．
（2）由對(duì)稱性設(shè)，則點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱得：，得：，由此能求出坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．
解答：解：（1）由對(duì)稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p
點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離，
∵△ABD的面積S_△ABD=，
∴=，
解得p=2，
∴圓F的方程為x²+（y-1）²=8．
（2）由題設(shè)，則，
∵A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，
又AB為圓F的直徑，故A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱．
由點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱得：
得：，直線切點(diǎn)
直線
坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．