Question

數(shù)列{an}中，an>0，an≠1，且(n∈N*).

(1)證明：an≠an+1；

(2)若，計算a2，a3，a4的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式.

 

Answer 1

（1）祥見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用反證法，若an+1=an，即，解得 an=0或1，結(jié)論與題干條件矛盾; （2）法一：根據(jù)，，求出，，，，觀察各項分子通項為3n-1，分母通項為3n-1+1，于是可以寫出通項公式an，進而可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．法二：由(n∈N*)，取倒數(shù)得，從而可轉(zhuǎn)化為：這樣就可選求出等比數(shù)列是以為首項，為公比，從而可寫出其通項公式，進而就可求出數(shù)列{an}的通項公式．

試題解析：(1)證明：(反證法)若an=an+1，則由(n∈N*)，得，

得an=1，這與已知an≠1相悖，故an≠an+1. 4分

(2)方法一：(舉例-猜想-證明)

若，由(n∈N*)得，，

，，猜想：(n∈N*)， 8分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時，，所以當(dāng)n=1時命題成立； 9分

②假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即，

則當(dāng)n=k+1時，， 12分

所以，當(dāng)n=k+1時，命題也成立，故(n∈N*)， 13分

由①、②可知，對所有的自然數(shù)n，都有(n∈N*). 14分

(說明：其它方法請相應(yīng)給分)

方法二：(利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項公式)

由(n∈N*)，取倒數(shù)得，

又，令2+3t=t，解得t=－1，

∴，

∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，

∴，∴，∴.

考點：１．反正法；２．?dāng)?shù)列遞推式；３．?dāng)?shù)學(xué)歸納法．