Question

試求三直線ax+y+1=0,x+ay+1=0,x+y+a=0構成三角形的條件.

Answer 1

【探究】  三直線構成三角形，則任二直線都相交，且不能相交于一點.

解法一任二直線都相交，則

,,故a≠±1.

且三直線不共點，故的交點(-1-a,1)不在ax+y+1=0上，

即a(-1-a)+1+1≠0,a²+a-2≠0.

(a+2)(a-1)≠0.  ∴a≠-a,a≠1

綜合上述結果，此直線構成三角形的條件是a≠±1,a≠-2.

解法二∵三條直線能構成三角形,

∴三條直線兩兩相交且不共點，即任意兩條直線都不平行，且三線不共點.若l₁,l₂,l₃交于一點，則

l₁:x+y+a=0與l₂:x+ay+1=0的交點P(-a-1,1)在l₃:ax+y+1=0上，

∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1,或a=-2.

若l₁∥l₂,則有=-1,a-1;若l₁∥l₃，則有=-1,a=1;

若l₂∥l₃，則有=-a,a=±1.

∴l(xiāng)₁,l₂,l₃構成三角形時a≠±1,a≠-2.

【規(guī)律總結】 (1)這是一道研究三直線位置關系的問題.一般容易只考慮三直線不共點，而忽視三直線互不平行這一條件，因而漏去a≠-1這一條件.

(2)解法一是直接法，解法二是間接法.當有時問題直接求解較困難時，可用間接法.