Question

7．已知四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，E是SC中點，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD，OF⊥SB，垂足為F
（1）求異面直線EO與BC所成的角．
（2）求證：平面AFC⊥平面SBC．

Answer 1

分析 （1）要求兩條異面直線所成角，利用兩異面直線所成角的定義，在平面ABCD內(nèi)，過O作OH⊥DC于H，連接EH，可得∠OHE為異面直線EO與BC所成的角，然后通過求解直角三角形得答案；
（2）證明平面AFC⊥平面SBC，可證平面SBC經(jīng)過平面AFC的一條垂線SB，利用已知條件結(jié)合線面垂直的判斷和性質(zhì)證明SB⊥平面AFC，則問題得證．

解答 （1）解：在平面ABCD內(nèi)，過O作OH⊥DC于H，連接EH，
∵O為底面正方形ABCD的中心，∴H為CD的中點，
又E為SC的中點，則EH∥SD，
∵SD⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，則EH⊥OH，
設AB=a，∵AB=SD，
則OH=HE=$\frac{a}{2}$，
在Rt△OHE中，由OH=HE=$\frac{a}{2}$，得∠OHE=$\frac{π}{4}$，
∴異面直線EO與BC所成的角為$\frac{π}{4}$；
（2）證明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，
又AC⊥BD，且SD∩BD=D，∴AC⊥平面SDB，則AC⊥SB，
又OF⊥SB，OF∩AC=O，∴SB⊥平面AFC．
而SB?平面SBC，
則平面AFC⊥平面SBC．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查了平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．