Question

已知函數(shù)F（x）=|cos²x+2sinxcosx-sin²x+Ax+B|
（1）若F（x）是周期函數(shù)，求A，B
（2）若F（x）在0≤x≤

3π

2

上的最大值M與A，B有關(guān)，問：A，B取何值時M最小？說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：F（x）解析式絕對值里邊利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)F（x）為周期函數(shù)列出關(guān)系式，即可求出A與B的值；
（2）由x的范圍求出F（x）解析式中正弦函數(shù)中角度的范圍，進而求出正弦函數(shù)的值域，根據(jù)F（x）的最大值M與A，B有關(guān)，即可確定出A與B的值．

解答：解：F（x）=|cos2x+sin2x+Ax+B|=|

2

sin（2x+

π

4

）+Ax+B|，
（1）若F（x）是周期函數(shù)，F(xiàn)（x+π）=F（x），即|

2

sin（2x+

π

4

）+Ax+B|=|

2

sin（2π+2x+

π

4

）+Ax+Aπ+B|，
可得A=0，B為任意實數(shù)；
（2）∵0≤x≤

3π

2

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

13π

4

，
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
當A=0，B=-

2

時，

2

+1≥F（x）=|

2

sin（2x+

π

4

）-

2

|≥0，此時F（x）最大值M的最小值為0．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．