Question

已知集合A＝{(x，y)|x²＋mx－y＋2＝0}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

剖析：如果目光總是停留在集合這一狹窄的知識范圍內，此題的思維方法是很難找到的．事實上，集合符號在本題中只起了一種“化妝品”的作用，它的實際背景是“拋物線x2＋mx－y＋2＝0與線段x－y＋1＝0(0≤x≤2)有公共點，求實數(shù)m的取值范圍”．這種數(shù)學符號與數(shù)學語言的互譯，是考生必須具備的一種數(shù)學素質． 　　解：由得 x2＋(m－1)x＋1＝0． ① ∵A∩B≠，∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個實數(shù)解． 首先，由Δ＝(m－1)2－4≥0，得m≥3或m≤－1． 當m≥3時，由x1＋x2＝－(m－1)＜0及x1x2＝1知，方程①只有負根，不符合要求； 當m≤－1時，由x1＋x2＝－(m－1)＞0及x1x2＝1＞0知，方程①有兩個互為倒數(shù)的正根．故必有一根在區(qū)間(0，1］內，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0，2］內． 綜上所述，所求m的取值范圍是(－∞，－1)． 評述：上述解法應用了數(shù)形結合的思想．如果注意到拋物線x2＋mx－y＋2＝0與線段x－y＋1＝0(0≤x≤2)的公共點在線段上，本題也可以利用公共點內分線段的比λ的取值范圍建立關于m的不等式來解．