Question

已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為y=±x，直線l的方程為y=kx+m．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若m=-1，且直線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
（3）若，求直線l與C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由漸近線方程為y=±x，設(shè)C的方程為：x²-y²=λ（λ≠0），由雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得9-8=λ，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）m=-1時(shí)，l：y=kx-1，由，得（k²-1）x²-2kx+2=0，由此能求出k的值．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²-y²=1，得，故（）-（）=0，由此能求出M的軌跡方程．
解答：解：（1）∵雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為y=±x，
∴設(shè)C的方程為：x²-y²=λ（λ≠0），
把點(diǎn)代入，得9-8=λ，
∴λ=1．
故雙曲線C的方程：x²-y²=1．
（2）m=-1時(shí)，l：y=kx-1，
由，得（k²-1）x²-2kx+2=0，
∵直線l與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴k²-1≠0，且△=8-4k²=0，或k²-1=0，
解得∴k=，或k=±1．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²-y²=1，
得，
∴（）-（）=0，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
設(shè)M（x，y），
∵A、B的中點(diǎn)是M，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵|k|＞1，
∴x，
故M的軌跡方程：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．