Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（2+x）+f（6-x）=0，將f（x）的圖象按

a

平移后得到g（x）=2+x+sin（x+1）圖象，求

a

的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把已知條件變形得到函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心，而函數(shù)g（x）=2+x+sin（x+1）=（x+1）+sin（x+1）+1，
圖象是由奇函數(shù)h（x）=x+sinx左移1，上移1而得，則g（x）的對(duì)稱中心可求，結(jié)合圖象平移求得

a

的坐標(biāo)．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（2+x）+f（6-x）=0，即f（2+x）=-f（6-x），
∴令t=2+x，有f（t）=-f（8-t）
∴f（t+4）=-f（4-t），即f（4+t）=-f（4-t），
故y=f（t）關(guān)于（4，0）對(duì)稱，也就是y=f（x）關(guān)于（4，0）對(duì)稱，
g（x）=2+x+sin（x+1）=（x+1）+sin（x+1）+1，
由奇函數(shù)h（x）=x+sinx左移1，上移1而得，故g（x）關(guān)于（-1，1）對(duì)稱．
∵f（x）的圖象按

a

平移后得到g（x）=2+x+sin（x+1）圖象，
∴向量

a

=（-5，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)的奇偶性，關(guān)鍵是明確平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系，是中檔題．