(本小題滿分14分)如圖,在四面體A−BCD中,AD^平面BCD,BC^CD,AD=2,BD=2.M是AD的中點(diǎn).

(1)證明:平面ABC平面ADC;

(2)若ÐBDC=60°,求二面角C−BM−D的大。

 

【答案】

(1)見解析(2)

【解析】

試題分析:(1)證明面面垂直幾何法就要證線面垂直,要證線面垂直就要證線線垂直;線線、線面、面面垂直之間相互轉(zhuǎn)化. 由題意知從點(diǎn)出發(fā)的三條件直線兩兩垂直,從而,又在平面內(nèi),所以可證得平面ABC平面ADC.證明面面垂直向量法可證法向量垂直,由題意知從點(diǎn)出發(fā)的三條件直線兩兩垂直,可以建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)求二面角可用兩種向量法(面向量和法向量)或幾何法,面向量法即在兩個半平面內(nèi)分別從頂點(diǎn)出發(fā)與棱垂直的兩個向量所成的角.幾何法(三垂線法)重點(diǎn)是找到二面角的平面角,①在幾何體內(nèi)找第三個平面與二面角的兩個半平都垂直,交線所成角即為平面角;如果找不到可以退而求其次,找第三個平面與二面角的其中一個半平垂直.②與另外一個半交于點(diǎn),過點(diǎn)作交線的垂線③過點(diǎn)作棱的垂線④連所得到的為二面角的平面角⑤在直角三角形求角.用法向量法求二面角不容易判斷所求出的是二面角還是其補(bǔ)角,所以盡量不用它.

試題解析:

(1) 

      (4分)

          (6分)

(2)作CG^BD于點(diǎn)G,作GH^BM于點(diǎn)HG,連接CH.    (8分)

 

 

所以ÐCHG為二面角的平面角.       (10分)

在Rt△BCD中,

CD=BD=,CG=CD,BG=BC

在Rt△BDM中,HG==

在Rt△CHG中,tanÐCHG=

所以即二面角C-BM-D的大小為60°.      (14分)

考點(diǎn):二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定;平面與平面垂直的判定.

 

練習(xí)冊系列答案
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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
的值域.

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(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

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⑶ 證明:

 

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