Question

已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得到a_n+1-a_n-1=2．分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論即可得到a_n；
（2）利用（1）通過(guò)放縮，利用“裂項(xiàng)求和”即可證明．
解答：（1）解：∵，①
∴，②
①-②得
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為a₁=1，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為a₂，公差為2的等差數(shù)列．
∵a₁=1，∴，
∴a_2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a_2n=2+（n-1）×2=2n．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．（n∈N*）；
（2）證明：當(dāng)n≥3時(shí)，，則

當(dāng)n=1時(shí)，；  當(dāng)n=2時(shí)，；
∴．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系、分類討論思想方法、放縮法、裂項(xiàng)求和法是解題的關(guān)鍵．