Question

已知如圖：平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）記CD=x，V（x）表示四棱錐F-ABCD體積，求V（x）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)ADEF是正方形得到G是AE的中點(diǎn)；再結(jié)合GH∥AB即可得到GH∥CD進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到FA⊥平面ABCD；再求出四棱錐的底面積以及高，最后直接代入體積計(jì)算公式即可；
（3）先根據(jù)基本不等式求出V（x）取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x；
解法1：在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，連接EM；通過分析得到∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角；求出其正弦值即可；
解法2：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原定，DC所在的直線為x軸建立空間直角，求出個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)以及兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式，得到余弦值，進(jìn)而得到其正弦值．
解答：（1）：連接EA，∵ADEF是正方形
∴G是AE的中點(diǎn)-------（1分）
∴在△EAB中，GH∥AB--（2分） 
又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE
∴GH∥平面CDE----（4分）
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD  且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD．-----（6分）
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x
∴FA=2，（0＜x＜2）
∴S_{平行四邊形ABCD}=CD•BD=
∴（0＜x＜2）--（8分）
（3）要使V（x）取得最大值，只須=（0＜x＜2）取得最大值，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)x²=4-x²，即時(shí) V（x）取得最大值---（10分）
解法1：在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，連接EM
∵BC⊥ED
∴BC⊥平面EMD
∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，，
∴，
∴
即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值為．-----------------（14分）
解法2：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原定，DC所在的直線為x軸建立空間直角
坐標(biāo)系如圖示，則D（0，0，0），
∴，，-------（12分）
設(shè)平面ECF與平面ABCD所成的二面角為θ，
平面ECF的法向量
由，得
令c=1得
又∵平面ABCD的法向量為
∴
∴．-------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識(shí)．解決第二問得關(guān)鍵在于先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到FA⊥平面ABCD．