【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明: (為自然對(duì)數(shù)的底)恒成立.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)取,有,即,求出(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可,設(shè),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
(Ⅰ)解:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),恒成立,所以在內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),令,得,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,
綜上所述,當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減
(Ⅱ)證明:由(1)可知,當(dāng)時(shí),
特別地,取,有,即,
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),因此,要證恒成立,
只要證明在上恒成立即可
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
故當(dāng)時(shí), ,即在上恒成立
因此,有,又因?yàn)閮蓚(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立,
所以有恒成立
或:令,則,
再令,則,
由知,存在,
使得,得,
由可證,進(jìn)而得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中,,,,,,分別在,上,,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn),且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐的體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市的街道是相互垂直或平行的,如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐標(biāo)系,對(duì)兩點(diǎn)和,用以下方式定義兩點(diǎn)間距離:.如圖,學(xué)校在點(diǎn)處,商店在點(diǎn),小明家在點(diǎn)處,某日放學(xué)后,小明沿道路從學(xué)校勻速步行到商店,已知小明的速度是每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)步行分鐘時(shí),小明與家的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度.
(1)求關(guān)于的解析式;
(2)做出中函數(shù)的圖象,并求小明離家的距離不大于7個(gè)單位長(zhǎng)度的總時(shí)長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雞的產(chǎn)蛋量與雞舍的溫度有關(guān),為了確定下一個(gè)時(shí)段雞舍的控制溫度,某企業(yè)需要了解雞舍的溫度(單位:℃),對(duì)某種雞的時(shí)段產(chǎn)蛋量(單位: )和時(shí)段投入成本(單位:萬(wàn)元)的影響,為此,該企業(yè)收集了7個(gè)雞舍的時(shí)段控制溫度和產(chǎn)蛋量的數(shù)據(jù),對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中的統(tǒng)計(jì)量的值.
17.40 | 82.30 | 3.6 | 140 | 9.7 | 2935.1 | 35.0 |
其中.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷, 與哪一個(gè)更適宜作為該種雞的時(shí)段產(chǎn)蛋量關(guān)于雞舍時(shí)段控制溫度的回歸方程類型?(給判斷即可,不必說明理由)
(2)若用作為回歸方程模型,根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)已知時(shí)段投入成本與的關(guān)系為,當(dāng)時(shí)段控制溫度為28℃時(shí),雞的時(shí)段產(chǎn)蛋量及時(shí)段投入成本的預(yù)報(bào)值分別是多少?
附:①對(duì)于一組具有有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
②
0.08 | 0.47 | 2.72 | 20.09 | 1096.63 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),求線段的垂直平分線在軸截距的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從一本英語(yǔ)書中隨機(jī)抽取100個(gè)句子,數(shù)出每個(gè)句子中的單詞數(shù),作出這100個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布表,由此你可以作出什么估計(jì)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.
(1)求圓的方程;
(2)若圓與直線交于,兩點(diǎn),且,求的值.
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