Question

（04年福建卷文）（12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q.

（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；

（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2， ∴點P坐標為（2，2）.

由  ，  ①     得，  ∴過點P的切線的斜率=2，

直線l的斜率k_l=－=   ∴直線l的方程為y－2=－(x－2)，

即 x+2y－6=0.

（Ⅱ）設

∵ 過點P的切線斜率 =x₀，當x₀=0時不合題意，

  ∴ 直線l的斜率k_l=－=，

直線l的方程為      ②

方法一：聯(lián)立①②消去y，得x²+x－x₀²－2=0.   設Q  

∵M是PQ的中點，

∴

消去x₀，得y=x²+(x≠0)就是所求的軌跡方程.

由x≠0知

上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是

方法二：

設Q則

由y₀=x₀²，y₁=x₁²，x=

∴ y₀－y₁=x₀²－x₁²=(x₀+x₁)(x₀－x₁)=x(x₀－x₁)，

∴   ∴

將上式代入②并整理，得  y=x²+(x≠0)就是所求的軌跡方程.

由x≠0知

上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是