Question

若a，b∈R⁺，a+b=1，則ab+

1

ab

的最小值為

17

4

．

Answer 1

分析：利用基本不等式和a+b=1，求出ab的取值范圍，令t=ab，再利用函數(shù)y=t+

1

t

的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值．

解答：解：∵a，b∈R⁺，且a+b=1，
∴1=a+b≥2

ab

，
∴0＜ab≤

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)取“=”，
令t=ab，則t∈（0，

1

4

]，
∴y=ab+

1

ab

=t+

1

t

，
∵y=t+

1

t

在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y=t+

1

t

在（0，

1

4

]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=

1

4

時(shí)，y取得最小值

1

4

+4=

17

4

，
∴ab+

1

ab

的最小值為

17

4

．
故答案為：

17

4

．

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．屬于中檔題．