Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

ax

x2+1

(a＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-

1

2

有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）f（x）的極大值為f（1）=

a

2

，且為最大值，根據(jù)函數(shù)g(x)=f(x)-

1

2

有兩個零點，可得不等式，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=a•

(1+x)(1-x)

(x2+1)2

令f′（x）＞0，∵a＞0，∴-1＜x＜1；令f′（x）＜0，∵a＞0，∴x＜-1或x＞1；
∴x=1是函數(shù)的極大值點，x=-1是函數(shù)的極小值點；
（2）由（1）知，f（x）的極大值為f（1）=

a

2

∵a＞0，∴x＞0時，f(x)=

ax

x2+1

＞0；x＜0時，f(x)=

ax

x2+1

＜0；
∴f（1）=

a

2

為函數(shù)的最大值
∵函數(shù)g(x)=f(x)-

1

2

有兩個零點，
∴

a

2

＞

1

2

∴a＞1
∴a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．