設(shè)f（x）的定義域為D，若f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的閉區(qū)間．①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
（1）寫出f（x）=x3的一個閉區(qū)間；
（2）若f（x）=
1
3
x3-k為閉函數(shù)求k取值范圍？
（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以說明寫出即可）----（4分）
（2）∵f（x）=
1
3
x3-k
∴f′（x）=x2，
∵f′（x）≥0恒成立
故f（x）=
1
3
x3-k在定義域R上為增函數(shù)----（5分）
若f（x）=
1
3
x3-k為閉函數(shù)
則f（x）=
1
3
x3-k=x 有至少兩個不同的解----（6分）
即k=
1
3
x3-x有至少兩個不同的解
令g（x）=
1
3
x3-x
則g′（x）=x2-1
令g′（x）=0，則x=±1
∵g（-1）=
2
3
，g（1）=-
2
3

即函數(shù)g（x）=
1
3
x3-x的極大值為
2
3
，極小值為-
2
3

故k∈[-
2
3
，
2
3
]------------（10分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導函數(shù)為f′（x），且對任意正數(shù)x均有f′（x）＞
f(x)
x
，
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），比較f（x1）+f（x2）與f（x1+x2）的大小，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、設(shè)F（x）的定義域為R，且滿足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下述條件：①f（x）是奇函數(shù)；②f（x+2）是偶函數(shù)；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）設(shè)G（x）=f（x+4），判斷G（x）的奇偶性并證明；（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≤1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（x2）的定義域是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域為D，若f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的閉區(qū)間．①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
（1）寫出f（x）=x3的一個閉區(qū)間；
（2）若f（x）=
13
x3-k為閉函數(shù)求k取值范圍？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域為D，f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數(shù)．
①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
如果f（x）=
2x+1
+k為閉函數(shù)，那么k的取值范圍是
-1＜k≤-
1
2
-1＜k≤-
1
2
．

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