Question

已知數列{a_n}，a_n∈N^*，前n項和S_n=（a_n+2）²．
（1）求證：{a_n}是等差數列；
（2）若b_n=a_n-30，求數列{b_n}的前n項和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查數列的通項與其前n項和的關系、等差數列的證明、數列的求和等綜合性問題．
（1）根據a_n+1=S_n+1-S_n及前n項和S_n=（a_n+2）²，可以得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，從而問題得證．
（2）由（1）可得數列{a_n}的通項公式，進而由b_n=a_n-30得到數列{b_n}的通項公式，然后可求數列{b_n}的前n項和，再由此求其最小值，最小值有兩種求法，其一是轉化為二次函數的最值，其二是找出正負轉折的項．
解答：解：（1）證明：∵a_n+1
=S_n+1-S_n
=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴數列{a_n}是等差數列．
（2）由（1）知a₁=S₁=（a₁+2），解得a₁=2．∴a_n=4n-2，
b_n=a_n-30=2n-31，（以下用兩種方法求解）
法一：
由b_n=2n-31可得：首項b₁=-29，公差d=2
∴數列{b_n}的前n項和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴當n=15時，s_n=225為最�。�
法二：
由得
≤n＜．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15項為負值，以后各項均為正值．
∴S_5最小．又b₁=-29，
∴S₁₅==-225
點評：本題的（2）中求s_n的最值問題是數列中較為常見的一種類型，主要方法有兩種：
法一只適用于等差數列的和的最值問題，對于其他數列，因為不能轉化為關于n的二次函數，所以無法使用，有一定的局限性；
法二是常規(guī)方法，使用范圍廣，其特點是找到遞增或遞減的數列中正項和負項的轉折“點”而得到答案．