Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=

alnx

x

（1）討論f（x）的單調(diào)性
（2）求f（x）在區(qū)間[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；
（2）由（1）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)其單調(diào)性求出f（x）在區(qū)間[a，2a]上的最小值；

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

alnx

x

（x＞0），
∴f′（x）=

a(1-lnx)

x2

∵a＞0，所以判斷1-lnx的符號，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，為增函數(shù)，
當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，為減函數(shù)，
∴x=e為f（x）的極大值，
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；（e，+∞）是減函數(shù)．
（2）∵f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；（e，+∞）是減函數(shù)
∴當(dāng)a≤2e，x=a時有最小值，為f（a）=

alna

a

=lna．
當(dāng)a＞2e，x=2a時有最小值，為f（a）=

aln(2a)

2a

=ln

ln(2a)

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要求學(xué)生會用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無限的思想來解決問題．