Question

已知拋物線x²=4y及定點(diǎn)P（0，8），A、B是拋物線上的兩動點(diǎn)，且．過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)Q，使得無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠AQP=∠BQP？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），對拋物線方程為，求導(dǎo)得
（法一）可得過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為，聯(lián)立方程可得，由，得，結(jié)合拋物線的方程整理可求
（法二）由直線AB與x軸不垂直可設(shè)AB：y=kx+8．.x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32，利用導(dǎo)數(shù)知識可得過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是，，從而可寫出切線MA．MB的方程，聯(lián)立方程可求M
（II）考慮到AB∥x軸時(shí)，顯然要使∠AQP=∠BQP，則點(diǎn)Q必定在y軸上，且有K_AQ+K_BQ=0對一切k恒成立，代入整理可求
解答：解：（I）方法1：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
對拋物線方程為，求導(dǎo)得
所以，過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為：，，即，解得．
又，得（-x₁，8-y₁）=λ（x₂，y₂-8），即將式（1）兩邊平方并代入得y₁=λ²y₂，再代入（2）得λy₂=8，解得且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-32，所以，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-8．
方法2：∵直線AB與x軸不垂直，設(shè)AB：y=kx+8．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
.x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
拋物線方程為．
所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是，，∴
解得：
即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值-8
（II）考慮到AB∥x軸時(shí)，顯然要使∠AQP=∠BQP，則點(diǎn)Q必定在y軸上，
設(shè)點(diǎn)Q（0，t），此時(shí)，
結(jié)合（1）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
故對一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故當(dāng)t=-8，即Q（0，-8）時(shí)，使得無論AB怎樣運(yùn)動，都有∠AQP=∠BQP
點(diǎn)評：本題考查拋物線的應(yīng)用，及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用方程的思想進(jìn)行求解．