Question

已知函數(shù)f（x）=（t為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t=1時，在圖中的直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，并指出該函數(shù)所具備的基本性質(zhì)中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設(shè)a_n=f（n）（n∈N^*），當(dāng)t＞10，且t∉N^*時，試判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性并由此寫出該數(shù)列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數(shù)）．
（3）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構(gòu)造過程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；若x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．若取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}，求實數(shù)t的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)t=1時，f（x）==-1+．
圖象如圖：（2分）
基本性質(zhì)：（每個2分）
奇偶性：既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；
單調(diào)性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分別遞增；
零點：x=0；
最值：無最大、小值．（6分）
（2）a_n==-1+，
當(dāng)1≤n≤[t]，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均大于-1，
當(dāng)n≥[t]+1，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均小于-1，（8分）
因此，數(shù)列中的最大項為a_[t}=，（10分）
最小項為a_[t}+1=．（12分）
（3）由題意，函數(shù)f（x）==t在R中無實數(shù)解，
亦即當(dāng)x≠t時，方程（1+t）x=t²+t-1無實數(shù)解．（14分）
由于x=t不是方程（1+t）x=t²+t-1的解，（16分）
因此對任意x∈R，使方程（1+t）x=t²+t-1無實數(shù)解，則t=-1為所求．（18分）
分析：（1）當(dāng)t=1時，f（x）==-1+，畫出函數(shù)的圖象，利用圖象可得函數(shù)的性質(zhì)；
（2）a_n==-1+，確定1≤n≤[t]，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*時，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時a_n均小于-1，由此可得結(jié)論
（3）函數(shù)f（x）==t在R中無實數(shù)解，亦即當(dāng)x≠t時，方程（1+t）x=t²+t-1無實數(shù)解，從而可得實數(shù)t的值．
點評：本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查方程解的研究，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．