如圖,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,E、F分別為AB、PD的中點(diǎn),過AE、AF的平面交PC于點(diǎn)H,二面角P-CD-B為45°,PA=a.
(Ⅰ)求證:AF∥EH;
(Ⅱ)求證:平面PCE⊥平面PCD; 
(Ⅲ)求多面體ECDAHF的體積.

【答案】分析:(Ⅰ)利用線面平行的判定,證明EA∥平面PCD,再證明四邊形EAFH是平行四邊形,即可證明AF∥EH;
(Ⅱ)證明AF⊥平面PCD,可得EH⊥平面PCD,利用面面垂直的判定,可以證明平面PCE⊥平面PCD; 
(Ⅲ)利用V多面體ECDAHF=VP-AECD-VP-EAFH,可求多面體ECDAHF的體積.
解答:(Ⅰ)證明:∵EA∥CD,CD?平面PCD,EA?平面PCD,
∴EA∥平面PCD.
又平面EAFH∩平面PCD=HF,且EA?平面EAFH,
∴EA∥HF.
∴HF∥CD.
∵E、F分別是AB、PD的中點(diǎn),
∴EA∥HF∥CD,EA=HF=CD.
∴四邊形EAFH是平行四邊形.
∴AF∥EH.…(5分)
(Ⅱ)證明:∵PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,即∠PDA=45°.
∴△PAD是等腰Rt△,又F是斜邊PD上的中點(diǎn),
∴AF⊥PD.
∵AF在平面ABCD內(nèi)的射影AD⊥CD,
∴AF⊥CD,而PD∩CD=D.
∴AF⊥平面PCD.
∵EH∥AF,∴EH⊥平面PCD.
又EH?平面PCE,∴平面PCE上平面PCD.…(9分)
(Ⅲ)解:由上面的證明可知,PF⊥平面EAFH,四邊形EAFH是矩形,
∵PA=AD=a,


=
∴V多面體ECDAHF=VP-AECD-VP-EAFH=.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面平行的判定與性質(zhì),考查面面垂直,考查多面體體積的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2004•朝陽區(qū)一模)如圖,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,E、F分別為AB、PD的中點(diǎn),過AE、AF的平面交PC于點(diǎn)H,二面角P-CD-B為45°,PA=a.
(Ⅰ)求證:AF∥EH;
(Ⅱ)求證:平面PCE⊥平面PCD; 
(Ⅲ)求多面體ECDAHF的體積.

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如圖,已知PA垂直于⊙O所在平面,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為圓周上異于AB的一點(diǎn).

(1)若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)n面體的直度為.那么四面體P-ABC的直度為多少?說明理由;

(2)在四面體P-ABC中,AP=AB=1,設(shè).若動(dòng)點(diǎn)M在四面體P-ABC表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PB⊥AM.設(shè)為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角的函數(shù),求取最大值時(shí),二面角A-PB-C的正切值.

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如圖,已知PA垂直于⊙O所在平面,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為圓周上異于AB的一點(diǎn).

(1)若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)n面體的直度為.那么四面體P-ABC的直度為多少?說明理由;

(2)如圖,若四面體P-ABC中,AP=AB=1,AE⊥PB,垂足為E,AF⊥PC,垂足為F.設(shè)∠EAF=為△AEF面積的函數(shù),求取最大值時(shí)二面角A-PB-C的大。

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如圖,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,E、F分別為AB、PD的中點(diǎn),過AE、AF的平面交PC于點(diǎn)H,二面角P-CD-B為45°,PA=a.
(Ⅰ)求證:AFEH;
(Ⅱ)求證:平面PCE⊥平面PCD; 
(Ⅲ)求多面體ECDAHF的體積.
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