Question

1．已知拋物線C：y²=4x，P為C上一點且縱坐標為2，Q，R是C上的兩個動點，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求過點P，且與C恰有一個公共點的直線l的方程；
（Ⅱ）求證：QP過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線y=2符合題意，當y≠2時，設l的方程m（y-2）=x-1，代入拋物線方程，由△=0，即可求得m的值，直線l的方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{^{2}}{4}$-1，b-2），則$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，則ab+2a+2b+20=0，而過QR的直線的斜率為：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$，整理得4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直線恒過定點（5，-2）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知P（1，2），顯然直線y=2符合題意；
當y≠2時，設l的方程m（y-2）=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{m（y-2）=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my+8m-4=0，
令△=（4m）²-4（8m-4）=0，解得：m=1，
∴y=x+1，
∴直線l的方程y=2或y=x+1；
（Ⅱ）證明：設Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{^{2}}{4}$，b），而P（1，2），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{^{2}}{4}$-1，b-2），
由于PQ⊥PR，得向量$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，
即為（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1）（$\frac{^{2}}{4}$-1）+（a-2）（b-2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而過QR的直線的斜率為：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$．
∴過QR的直線方程為y-b=$\frac{4}{a+b}$（x-$\frac{^{2}}{4}$），
整理得：4x+ab-（a+b）y=0，
即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化為4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直線恒過定點（5，-2）．
∴直線QR必過定點（5，-2）．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線系方程的運用，考查計算能力，屬于中檔題．