直三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖及三視圖如下圖所示,D為AC的中點(diǎn),則下列命題是假命題的是( )
A.AB1∥平面BDC1
B.A1C⊥平面BDC1
C.直三棱柱的體積V=4
D.直三棱柱的外接球的表面積為4π
D
【解析】
試題分析:由三視圖可知,直三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)面B1C1CB為邊長(zhǎng)為2的正方形,底面ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,AB=BC=2,連B1C交BC1于O,連接OD,在△CAB1中,O,D分別是B1C,AC的中點(diǎn),∴OD∥AB1,而AB1⊄平面BDC1,OD⊂平面BDC1,∴AB1∥平面BDC1,A對(duì);直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴AA1⊥BD,∵AB=BC=2,D為AC的中點(diǎn),∴BD⊥AC,∴BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1C①,又A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥平面B1C1CB,∴A1B1⊥B1C,在正方形B1C1CB中,BC1⊥B1C,∵B1C,A1B1⊂平面A1B1C,B1C∩A1B1⊂=B1,∴B1C⊥平面A1B1C,∴B1C⊥A1C②,由①②,又BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BDC1,∴A1C⊥平面BDC1 ,B對(duì);,C對(duì);直三棱柱的外接球的半徑為所在正方體的體對(duì)角線的一半,即,故直三棱柱的外接球的表面積為,D錯(cuò).故選D.
考點(diǎn):1.三視圖;2.直線與平面平行的判定;3.直線與平面垂直的判定
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