Question

如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．
（1）求證：BC∥平面EFG；
（2）求三棱錐E-AFG的體積．

Answer 1

分析：（1）由E，F(xiàn)分別是線段PA、PD的中點(diǎn)，得到EF∥AD，由ABCD為正方形，得到BC∥AD，再由直線平行于平面的判定定理得到BC∥平面EFG．
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，得到GD⊥平面AEF，由此先證明EF⊥AE，再由題設(shè)條件求三棱錐E-AFG的體積．

解答：（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是線段PA、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD．…（2分）
又∵ABCD為正方形，
∴BC∥AD，
∴BC∥EF．…（4分）
又∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG         …（6分）
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．…（8分）
又∵EF∥AD，PA⊥AD，
∴EF⊥AE．…（10分）
又∵AE=EF=

1

2

AD=1，GD=

1

2

CD=1，．
∴VE-AFG=VG-AEF=

1

3

×S△AEF×GD=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的計(jì)算．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題．