Question

如圖，幾何體為正四棱錐，幾何體為正四面體.、

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

解法一:取的中點，連結，由幾何體為正四面體得，，所以平面，從而.

連結交于點,連結得平面,

，所以平面，從而.又

所以平面，從而.

解法二: 因為幾何體為正四棱錐，幾何體為正四面體.

 

故可設

取的中點，連結，由題意知

故是二面角的平面角， 是二面角的平面角,

在中，，

所以，

在中，，

所以 

從而，從而四點共面，

故四邊形為菱形，從而

（2）由解法二知四邊形為菱形，于是，∥，

所以點到平面的距離等于點到平面的距離，

設點到平面的距離為，由得：

進而得，所以與平面所成角的正弦值

解法三：如圖，以OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系。

不妨設|OB|=1，則B(1,0,0)，C(0,1,0)， D(-1,0,0)，A(0,-1,0)

因為為正四面體，所以為正三角形，所以，所以，因此P(0,0,1)。

設的重心為M，則面PCB，又也為正三棱錐，因此面PCB，因此O、M、Q三點共線，所以OQ垂直面PCB，即是平面PCB的一個法向量，

由，易得平面PCB的一個法向量可以取，所以不妨設Q(a,a,a)，則，因為解得a=1，所以Q(1,1,1)。

（1），，，所以；

（2）設面PAD的一個法向量為，，，由

解得一個法向量，

所以，所以QD與平面PAD所成角的正弦值為。

【解析】略