Question

現(xiàn)有一塊長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10dm，短軸長(zhǎng)為8dm，形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為

 

．

Answer 1

分析：先以長(zhǎng)軸為x軸，長(zhǎng)軸的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．依題意可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)矩形第一象限的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得mn的范圍，進(jìn)而根據(jù)矩形對(duì)稱(chēng)性知面積為S=4mn求得答案．

解答：解：以長(zhǎng)軸為x軸，長(zhǎng)軸的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．依題意可知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1
不防設(shè)P（m，n）為矩形第一象限的頂點(diǎn)，則

m2

25

+

n2

16

=1
由矩形對(duì)稱(chēng)性知面積為S=4mn，1=

m2

25

+

n2

16

≥2•

mn

5×4

∴mn≤10
∴S≤40
故答案為40

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線問(wèn)題的綜合運(yùn)用．