Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸．
（1）確定與的關系；
（2）試討論函數(shù)的單調性；
（3）證明：對任意，都有成立．

Answer 1

（1）
（2）當時，函數(shù)在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
當時，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；
當時，函數(shù)在上單調遞增，
當時，函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．
（3）可以利用放縮不等式證明也可以構造新數(shù)列利用數(shù)列的性質證明還可以構造函數(shù)利用導數(shù)證明

解析試題分析：（1）依題意得，則
由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴                                                        ……3分
（2）由（1）得               ……4分
∵函數(shù)的定義域為
∴當時，在上恒成立，
由得，由得，
即函數(shù)在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；                      ……5分
當時，令得或，
若，即時，
由得或，由得，
即函數(shù)在，上單調遞增，在單調遞減；          ……6分
若，即時，
由得或，由得，
即函數(shù)在，上單調遞增，在單調遞減；          ……7分
若，即時，在上恒有，
即函數(shù)在上單調遞增，                                     ……8分
綜上得：當時，函數(shù)在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
當時，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；
當時，函數(shù)在