Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝alnx1，g（x）＝x33tx+1（t＞0）．

（1）當a時，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（3）若g（x）≤xex﹣m+2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意x∈[0，+∞）恒成立時m的最大值為1，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值，最大值為 （2）見解析 （3）（0，]

【解析】

（1）當a時，求出，解不等式，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)極值，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（或）能否恒成立對分類討論，若恒成立，得到單調(diào)區(qū)間，若不恒成立，求出，即可求出單調(diào)區(qū)間；

（3）將所求的不等式分離參數(shù)，得到m-1≤（ex﹣x2對x∈[0，+∞）恒成立，且m的最大值為1，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出最小值，即可求解.

（1）當a時，f（x）lnx1，

∴f′（x），（x＞0），

當x時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當x∈（1，e]時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

故當x＝1時，f（x）取得最小值f（1），

∵f（e），f（），

∴f（e）＞f（），

故函數(shù)的最大值為f（e），

（2）∵f′（x），

①當a+1≥0即a≥﹣1時，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

②當a+1＜0即a＜﹣1時，x，f′（x）＞0，

x，f′（x）＜0成立，

故f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，

故f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減.

綜上：當a≥﹣1時，的遞增區(qū)間是

當a＜﹣1時，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），

單調(diào)遞減區(qū)間是（，+∞）.

（3）∵g（x）≤xex﹣m+2對任意x∈[0，+∞）恒成立時m的最大值為1，

∴x33tx+1≤xex﹣m+2對任意x∈[0，+∞）恒成立，

∴m-1≤xex﹣x33tx＝（ex﹣x2

對任意x∈[0，+∞）恒成立，且m的最大值為1，

令g（x）＝ex﹣x2，，

令，∴，

當x∈（0，ln2）時，h′（x）＝ex﹣2＜0，h（x）單調(diào)遞減，

當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＝ex﹣2＞0，h（x）單調(diào)遞增，

，故，

故g（x）單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）＝1﹣3t≥0，∴0＜t

即t的取值范圍（0，]．