Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程在上有2個(gè)不同的解，求的取值范圍，并證明：．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；

【解析】

試題分析：（Ⅰ）判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法有兩種：一是結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；二是利用函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．本題需要求出零點(diǎn)，則只需解方程即可；（Ⅱ）方法一可利用二次函數(shù)與二次方程根的分布可以得到，然后再將兩根用k表示出，轉(zhuǎn)化成函數(shù)取值范圍問題，方法二，分離參數(shù)，有數(shù)形結(jié)合可以證明.

試題解析：（Ⅰ） 2分

若 ，令，

得 ,

若，令 ，得 ，

綜上，函數(shù) 的零點(diǎn)為 . 5分

（2）， 6分

因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011306040225019498/SYS201501130604072503163864_DA/SYS201501130604072503163864_DA.012.png">在上至多有1個(gè)實(shí)根，方程，在上至多有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合已知，可得方程在上的兩個(gè)解中的1個(gè)在，1個(gè)在.不妨設(shè)，，

法一：設(shè)

數(shù)形結(jié)合可分析出，解得， 8分

，

，，

令，在上遞增，

當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011306040225019498/SYS201501130604072503163864_DA/SYS201501130604072503163864_DA.027.png">，所以。 14分

法二：由 可知 作出的圖象，

可得 . 10分

且 ，故 14分

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)及其綜合應(yīng)用.