Question

已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn).

（Ⅰ）求圓方程；

（Ⅱ）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，與圓相交于兩點(diǎn)，且使三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在求出直線的方程，若不存在用計(jì)算過(guò)程說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求得過(guò)圓心與切點(diǎn)的直線，然后與直線聯(lián)立可求得圓心，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得半徑，進(jìn)而求得圓的方程；（Ⅱ）首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得的坐標(biāo)，然后分直線的斜率是否存在兩種情況求解，求解過(guò)程中注意利用點(diǎn)到直線的距離公式．

試題解析：（Ⅰ）過(guò)切點(diǎn)且與垂直的直線為，即.

與直線聯(lián)立可求圓心為，

所以半徑，

所以所求圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

∴．

注意：若沒(méi)證明，直接得出結(jié)果，不扣分.

1.當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，

同時(shí)令代人圓方程得，∴，

∴滿足題意，此時(shí)方程為．

2.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，

圓心到直線的距離，

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則必有，

在中，，所以，

而原點(diǎn)到直線的距離為，所以，

整理，得，不存在這樣的實(shí)數(shù)，

綜上所述直線的方程為．

考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2、點(diǎn)到直線的距離