Question

已知函數(shù)f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x-1有2個不同的零點x₁、x₂，則（　�。�

• A、x₁•x₂＜1
• B、x₁•x₂=x₁+x₂
• C、x₁•x₂＞x₁+x₂
• D、x₁•x₂＜x₁+x₂

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x-1有兩個零點轉(zhuǎn)化為y=|log₃（x-1）|與y=3^-x+1有兩個交點，然后在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象，得到零點在（1，2）和（2，+∞）內(nèi)，即可得到-3^-x₁ =log₃x₁和3^-x₂ =log₃x₂，然后兩式相加，即可求得x₁x₂的范圍．

解答： 解：f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x-1有兩個零點x₁，x₂，
即y=|log₃（x-1）|與y=3^-x+1有兩個交點．
由題意x＞0，分別畫y=3^-x+1和y=|log₃（x-1）|的圖象，
發(fā)現(xiàn)在（1，2）和（2，+∞）有兩個交點．
不妨設(shè) x₁在（1，2）里 x₂在（2，+∞）里，
那么 在（1，2）上有 1+3^-x₁=-log₃（x₁-1），
即-1-3^-x₁=log₃（x₁-1）…①
在（2，+∞）上有1+3^-x₂ =log₃（x₂-1）．…②
①、②相加有 3^-x₂-3^-x₁=log₃（x₁-1）（x₂-1），
∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁，即 3^-x₂-3^-x₁＜0，
∴l(xiāng)og₃（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴0＜（x₁-1）（x₂-1）＜1，∴x₁x₂＜x₁+x₂，
故選D．

點評：本題主要考查確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法--轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題．函數(shù)的零點等價于函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，等價于對應(yīng)方程的根，屬于中檔題．