已知函數(shù)f(x)=x2-2x,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},則集合M∩N的面積是( )
A.
B.
C.π
D.2π
【答案】分析:因為f(x)=x2-2x,所以集合M={(x,y)|x2+y2-2x-2y≤0},它的圖形是圓心為(1,1),半徑為的圓.N={(x,y)|x2-y2-2(x-y)≥0}={(x,y)|(x-y)(x+y-2)≥0},它的圖形是直線x-y=0和直線x+y-2=0之間的平面區(qū)域.集合M∩N的區(qū)域的面積是半徑為的圓的面積的一半.由此能求出集合M∩N的面積.
解答:解:∵f(x)=x2-2x,
∴集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0}
={(x,y)|x2+y2-2x-2y≤0},
集合M的圖形是圓心為(1,1),半徑為的圓.
N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}
={(x,y)|x2-y2-2(x-y)≥0}
={(x,y)|(x-y)(x+y-2)≥0},
集合N的圖形是直線x-y=0和直線x+y-2=0之間的平面區(qū)域.
∴集合M∩N的區(qū)域是如圖所示的陰影部分.
它的面積是半徑為的圓的面積的一半.
∴集合M∩N的面積S==π.
故選C.
點評:本題考查圓和圓錐曲線的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵步驟是判斷出集合M的圖形是圓心為(1,1),半徑為的圓.集合N的圖形是直線x-y=0和直線x+y-2=0之間的平面區(qū)域.集合M∩N的面積是半徑為的圓的面積的一半.解題時要認(rèn)真審題,作出可行域,注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用.易錯點是作不出來可行域,解題時要無從下手.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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