Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，高為h（h＞2），動點(diǎn)M在側(cè)棱BB₁上移動．設(shè)AM與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為θ．
（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求向量與夾角的大�。�

Answer 1

解：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD，DM，則有
?AD⊥BC ①
BB₁⊥平面ABC?AD⊥BB₁ ②
由①②得AD⊥平面BB₁CC₁．
于是，可知∠AMD即為AM與側(cè)面BCC₁所成角θ．
因?yàn)辄c(diǎn)M到平面ABC的距離為BM，設(shè)BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=．
由AD=，DM==，
故tanθ=．而當(dāng)θ∈[]時(shí)．tanθ∈[，1]．
即≤1?3≤1+4x²≤9?≤x²≤2．
所以，點(diǎn)M到平面ABC的距離BM的取值范圍是：[]．
（2）：當(dāng)θ=時(shí)，由第一問得BM=．
故可得DM=，AM==．
設(shè)與的夾角為α．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10670.png' />=（+）=
=1×1×cos120°+0=-．
所以cosα=
故向量與的夾角大小為：π-arccos．
分析：（1）先設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD，DM，根據(jù)題中條件以及BB₁⊥平面ABC得到AD⊥平面BB₁CC₁．進(jìn)而得到∠AMD即為AM與側(cè)面BCC₁所成角θ；然后在Rt△ADM，利用角θ來求點(diǎn)M到平面ABC的距離的取值范圍即可；
（2）先由第一問得BM=；然后再把轉(zhuǎn)化為，求出即可表示出向量與夾角的大�。�
點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)到面的距離以及求兩個(gè)向量的夾角問題．解決第2問的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為，再代入求出的值，從而得到結(jié)論．