Question

設{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=

1

n(n+1)

+a2n，n=1，2，…，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的前n項和和等差數列的性質，列出方程組，求出a₂，進而求出公比和a₁；
（2）首先寫出數列{b_n}的通項公式，然后寫出數列{b_n}的前n項和T_n，再利用裂項求和，和等比數列前n項和公式求和即可．

解答：解：（1）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

解得a₂=2．
設數列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得a1=

2

q

，a3=2q．
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，
解得q1=2，q2=

1

2

．
由題意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1．
故數列{a_n}的通項為a_n=2^n-1．
（2）bn=

1

n(n+1)

+a2n=

1

n(n+1)

+22n-1
T_n=（

1

1×2

+2）+（

1

2×3

+2³）+…+[

1

n×(n+1)

+2^2n-1]
=[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n+1)

_^]+（2+2³+…+2^2n-1）
=[（1-

1

2

）+（

1

2

- 

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]+

2(1-4n)

1-4

=（1-

1

n+1

）+

2(4n-1)

3

=

22n+1

3

+ 

1

3

- 

1

n+1

點評：本題考查了等比數列的通項公式和數列的求和，此題采取的分組求和和裂項的方法求數列的前n項和，是兩種常用方法要熟練掌握，屬于中檔題．