Question

（本題滿分14分）給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓的伴隨圓相交于M、N兩

點，求弦MN的長；

（3）點是橢圓的伴隨圓上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個公共點，求證：⊥.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因為，所以，所以橢圓的方程為，

伴隨圓的方程為.                         ……………………………… 4分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由得，圓心到直線的距離為 

所以。                     ……………………………… 8分

（3）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當(dāng)方程為時，此時與伴隨圓交于點

此時經(jīng)過點（或且與橢圓只有一個公共點的另一條直線是(或，即為(或，顯然直線垂直；    

同理可證方程為時，直線垂直.           ……………………………… 10分

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點其中，

設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

由，消去得到，

即， ，

經(jīng)過化簡得到：，

因為，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以是關(guān)于的方程：的兩個實數(shù)根，

因而，即⊥.                          ……………………………… 14分

 

【解析】略