Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整數(shù)，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對(duì)任意的x，y∈A，且．
（Ⅰ）判斷集合{1，2，3，4}是否具有性質(zhì)P；
（II）求證：；
（III）求證：n≤9．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用性質(zhì)對(duì)任意的x，y∈A，且．代入可判斷
（Ⅱ）依題意有 ，又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此 ．由此能夠證明
（III）由 ，a≥1可得 ，因此n＜26．同理，可知 ．由此能夠推導(dǎo)出n≤9．
解答：解：（I）由于，，，，，，
∴集合{1，2，3，4}具有性質(zhì)P；
（Ⅱ）依題意有 ，又a₁＜a₂＜…＜a_n，
因此 ，
可得；
所以，即
（III）由 ，a≥1可得 ，因此n＜26，
同理，可知 ．又a_i≥i，可得所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
當(dāng)n≥10時(shí)，取i=5，則i（n-i）=5（n-5）≥25，可知n＜10．
又當(dāng)n≤9時(shí)，，所以n≤9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．