Question

給定兩個命題p：對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有負(fù)實(shí)數(shù)根；如果p或q為真命題，p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：對于命題p：分類討論：當(dāng)a=0，直接驗(yàn)證；當(dāng)a≠0時(shí)，對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立，必需

a＞0 △=a2-4a＜0

，即可解得．對于命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有負(fù)實(shí)數(shù)根，必需a＜0．由于p或q為真命題，p且q為假命題，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：對于命題p：當(dāng)a=0，不等式ax²+ax+1＞0變?yōu)?＞0，對任意實(shí)數(shù)x恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立，必需

a＞0 △=a2-4a＜0

，
解得0＜a＜4；
對于命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有負(fù)實(shí)數(shù)根，必需a＜0，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，命題Q為真命題．
∵p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p與q必然一真一假．
若P真Q假，則

0≤a＜4 a≥0

，解得0≤a＜4
若P徦Q真，則

a≥4或a＜0 a＜0

，解得a＜0
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜4．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題真假判斷方法，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．