Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a得取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）f'（x）=2x+-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴2x+-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+恒成立．
∵2x+≥（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)），所以a＜．
當(dāng)a=時(shí)，易知f（x）在（0，1）上也是增函數(shù)，所以a≤．
（2）設(shè)t=e^x，則h（t）=t²+|t-a|，
∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
當(dāng)a≤1時(shí)，h（t）=t²+t-a，在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)，所以h（t）的最小值為h（1）=2-a．
當(dāng)1＜a≤時(shí)，h（t）=．
因?yàn)楹瘮?shù)h（t）在區(qū)間[a，3]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，a]上也是增函數(shù)，所以h（t）在[1，3]上為增函數(shù)，
所以h（t）的最小值為h（1）=a．
所以，當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）的最小值為2-a；當(dāng)1＜a≤時(shí)，g（x）的最小值為a．

分析：（1）本題知道了函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)，求a范圍，可以轉(zhuǎn)化為f'（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此求解參數(shù)范圍即可；
（2）本題先用換元法將復(fù)合函數(shù)變成關(guān)于變量的分段二次函數(shù)，然后在兩段時(shí)分別研究，求出每一段上的最小值，再取兩者中的較小者即可．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了不等式恒成立求參數(shù)問題的轉(zhuǎn)化方向，利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值．涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)．