Question

如果甲、乙兩個乒乓球選手進行比賽，而且他們的水平相當，規(guī)定“7局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局．
求：（Ⅰ）乙取勝的概率；
（Ⅱ）比賽打滿七局的概率；
（Ⅲ）設(shè)比賽局數(shù)為ξ，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）當甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：
第一種是乙連勝四局；第二種是在第3局到第6局，乙贏了3局，第7局乙贏．
在第一種情況下，乙取勝的概率為
在第二種情況下，乙取勝的概率為
所以當甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率為．

（Ⅱ）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，記“比賽打滿七局甲勝”為事件A；
記“比賽打滿七局乙勝”為事件B．則

又A，B互斥，所以比賽打滿七局的概率為
（或第3～6局中甲甲勝1局乙勝3局，．

（Ⅲ）



所以ξ的分布列為：

Eξ=（4+5+6+67）×=5.5．
分析：（1）若已知甲先贏了前兩局，列舉乙勝的可能情況，第一種是乙連勝四局；第二種是在第3局到第6局，乙贏了3局，第7局乙贏．列出兩種情況求和．
（2）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，實際上甲勝和乙勝的概率是一樣的，設(shè)出事件列出算式得結(jié)果．
（3）比賽最少要打四局，最多是七局，所以離散型隨機變量的取值是4、5、6、7，寫出分布列，得到期望．
點評：本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．