Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在線段PD上存在點E使得BE⊥CE，求線段AD的取值范圍，并求當線段PD上有且只有一個點E使得BE⊥CE時，二面角E-BC-A正切值的大�。�

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以BC為直徑的球與線段PD有交點，因此設BC的中點為O（即球心），取AD的中點M，連接OM，作ME⊥PD于點E，連接OE．要使以BC為直徑的球與PD有交點，只要OE≤OC即可，設OC=OB=R，算出ME=

4R

16+4R2

，從而得到OE²=9+

4R2

4+R2

≤R²，解此不等式得R≥2

3

，所以AD的取值范圍[4

3

，+∞）．最后根據(jù)AD=4

3

時，點E在線段PD上惟一存在，結(jié)合二面角平面角的定義和題中數(shù)據(jù)，易得此時二面角E-BC-A正切值．

解答：解：若以BC為直徑的球面與線段PD有交點E，由于點E與BC確定的平面與球的截面是一個大圓，則必有BE⊥CE，因此問題轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點．
設BC的中點為O（即球心），再取AD的中點M，
∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵矩形ABCD中，O、M是對邊中點的連線
∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD，
作ME⊥PD交PD于點E，連接OE，
則OE⊥PD，所以OE即為點O到直線PD的距離，
又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，點P，D在球O外，
∴要使以BC為直徑的球與線段PD有交點，只要使OE≤OC（設OC=OB=R）即可．
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=

4R

16+4R2

，
∴OE²=9+ME²=9+

4R2

4+R2

 令OE²≤R²，即9+

4R2

4+R2

≤R²，解之得R≥2

3

；
∴AD=2R≥4

3

，得AD的取值范圍[4

3

，+∞），
當且僅當AD=4

3

時，點E在線段PD上惟一存在，
此時作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，連接EK，
可得BC⊥平面EHK，∠EKH即為二面角E-BC-A的平面角
∵以BC為直徑的球半徑R=2

3

=OE，∴ME=

4R

16+4R2

=

3

，
由此可得ED=

EM×AD

PA

=3，所以EH=

PA×DE

PD

=

4×3

42+(4 3 )2

=

3

2

∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK
∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH=

EH

HK

=

1

2

即二面角E-BC-A的平面角正切值為

1

2

．

點評：本題給出特殊四棱錐，探索空間兩條直線相互垂直的問題，并求二面角的正切值，著重考查了空間垂直位置關系的證明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知識點，屬于中檔題．