Question

根據(jù)所給條件求下列曲線的方程：
（1）頂點在原點，對稱軸為x軸，并經(jīng)過點P（-6，-3）的拋物線方程．
（2）已知：點B與點A（-1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

．求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為y²=2px （p＞0），將點P坐標代入求出p值，即得所求拋物線方程；
（2）根據(jù)點A坐標，算出B得坐標為（1，-1）．由k_AP•k_BP=-

1

3

，利用經(jīng)過兩點的直線斜率公式，列式化簡可得x²+3y²=4（x≠±1），即為所求動點P的軌跡方程．

解答：解：（1）依題設(shè)拋物線方程為y²=2px （p＞0）
將點P（-6，-3）代人，得（-3）²=2p×（-6），解之得p=

3

4

，
∴所求拋物線方程為：y²=

3

2

x；
（2）∵點B與A（-1，1）關(guān)于原點對稱，∴點B得坐標為（1，-1）．
設(shè)點P的坐標為（x，y），得
直線AP的斜率為k_AP=

y-1

x+1

；直線BP的斜率為k_BP=

y+1

x-1

∵直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

，化簡得x²+3y²=4（x≠±1）．
即動點P的軌跡方程為x²+3y²=4（x≠±1）．

點評：本題求滿足條件的拋物線方程，并求動點P的軌跡方程．著重考查了拋物線的定義與標準方程、動點軌跡方程的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．