Question

【題目】對于定義域為D的函數(shù)，若存在區(qū)間，使得同時滿足，①在上是單調函數(shù)，②當的定義域為時，的值域也為，則稱區(qū)間為該函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”

（1）求出函數(shù)的所有“和諧區(qū)間”；

（2）函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出實數(shù)a，b的值；若不存在，請說明理由

（3）已知定義在上的函數(shù)有“和諧區(qū)間”，求正整數(shù)k取最小值時實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）不存在；理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“和諧”函數(shù)的定義，建立條件關系，即可求符合條件的“和諧”區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否滿足“和諧”函數(shù)的條件即可；

（3）根據(jù)函數(shù)是“和諧”函數(shù)，建立條件關系，即可求實數(shù)的取值范圍．

（1）因為函數(shù)在上單調遞增，

所以有或或；

即或或．

（2）畫出函數(shù)的圖象

由圖可知函數(shù)在 ， 上單調遞增，在上單調遞減；

且函數(shù)值域為，故在上不存在 “和諧區(qū)間”；

假設函數(shù)在區(qū)間存在 “和諧區(qū)間”，則 方程組無解，假設不成立；同理可得函數(shù)在區(qū)間也不存在 “和諧區(qū)間”。

故函數(shù)不存在 “和諧區(qū)間”。

（3）在上有“和諧區(qū)間”，

所以存在區(qū)間，使函數(shù)的值域為，

函數(shù)在上單調遞增

在單調遞增，即，

為關于的方程的兩個實根，即方程在上有兩個不等的實根，即在上有兩個不等的實根，令

與，問題轉化為函數(shù)與，在上存在兩個不同的交點.

考察函數(shù)如圖

函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增.

，且，

∵函數(shù)在上遞減，當時，直線與函數(shù)不可能有兩個交點，∴

∵在遞增，由圖象可知，當時，函數(shù)與在存在兩個交點，

所以正整數(shù)的最小值為，，此時，，解得.

故.