Question

如圖，四邊形ABCD中（圖1），E是BC的中點(diǎn)，DB=2，DC=1，，．將（圖1）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（如圖2）
（1）求證：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條件得到BD⊥平面AEM；進(jìn)而通過(guò)求邊長(zhǎng)得到AE⊥ME；即可得到結(jié)論；
（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)半平面的法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可．
解答：解：（1）如圖取BD中點(diǎn)M，連接AM，ME．
∵．
∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，⇒DB²+DC²=BC²，
所以△BCD是BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴ME為△BCD的中位線，
∴ME⊥BD，，
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線，
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE
∵，DB=2，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴，，
∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD?平面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（6分）
（2）如圖，以M為原點(diǎn)MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，
則由（1）及已知條件可知B（1，0，0），，，D（-1，0，0），C（-1，1，0），，…（8分）
設(shè)平面ACD的法向量為
則⇒
…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線面垂直的證明以及二面角的求法．一般在證明線面垂直時(shí)，先轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．進(jìn)而得到線面垂直．