已知sinθ，sinx，cosθ成等差數(shù)列，sinθ，siny，cosθ成等比數(shù)列．證明：2cos2x=cos2y．

證明：∵sinθ與cosθ的等差中項(xiàng)是sinx，等比中項(xiàng)是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx，①sinθcosθ=sin2y，②…（4分）
①2-②×2，可得 （sinθ+cosθ）2-2sinθcosθ=4sin2x-2sin2y，即4sin2x-2sin2y=1．
∴，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故證得2cos2x=cos2y．…（8分）
分析：利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，sinθ+cosθ=2sinx，sinθcosθ=sin2y，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式證得不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos（β-γ）的值．
（2）若sinα+sinβ=
2
2
，求cosα+cosβ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin(α+
π
3
)+sinα=-
4
3
5
，則cos(α+
2π
3
)=
4
5
4
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα=
3
5
，α∈（
π
2
，π），cosβ=-
5
13
，β是第三象限的角．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求sin（α+β）的值；
（3）求tan2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（α+π）＜0，cos（α-π）＞0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個(gè)命題：
①f（x）=3cos（2x-
π
3
)的對(duì)稱軸為x=
π
6
+
kπ
2
(k∈Z)；
②g（x）=2sin（
π
6
-x）的遞增區(qū)間是[-
π
3
+2kπ，
2π
3
+2kπ]；
③已知
sinα+cosα
sinα-cosα
=3且tan(α-β)=2，則tan(β-2α)=
4
3

④若θ是第二象限角，則tan
θ
2
＞cot
θ
2
且sin
θ
2
＞cos
θ
2

其中，正確命題的序號(hào)為
①③
①③
．

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