Question

若三角形三邊成等比數列，則公比q的范圍是

 

．

Answer 1

分析：設三邊：a、qa、q²a、q＞0則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，把a、qa、q²a、代入，分q≥1和q＜1兩種情況分別求得q的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：設三邊：a、qa、q²a、q＞0則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，即
（1）當q≥1時a+qa＞q²a，等價于解二次不等式：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0兩根為：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

且q≥1，
即1≤q＜

1+ 5

2

（2）當q＜1時，a為最大邊，qa+q²a＞a即得q²+q-1＞0，解之得q＞

5 -1

2

或q＜-

1+ 5

2

且q＞0
即q＞

5 -1

2

綜合（1）（2），得：q∈(

5 -1

2

，

1+ 5

2

)
故答案為：(

5 -1

2

，

1+ 5

2

)

點評：本題主要考查了等比數列的性質．屬基礎題．