Question

已知拋物線C；y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，-2）；
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，直線OA與l的距離等于

5

5

？若存在，求出直線l的方程，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將（1，-2）代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可得，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得其準(zhǔn)線方程．
（2）先假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)出其方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與拋物線方程有公共點(diǎn)，求得t的范圍，利用直線AO與L的距離，求得t，則直線l的方程可得．

解答： 解：（1）將（1，-2）代入y²=2px，
得（-2）²=2p•1，所以p=2．
故所求的拋物線C的方程為y²=4x，其準(zhǔn)線方程為x=-1．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，
其方程為y=-2x+t，代入拋物線方程得y²+2y-2t=0．
因?yàn)橹本�l與拋物線C有公共點(diǎn)，
所以△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

．
另一方面，由直線OA到l的距離d=

5

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可得

|t|

5

=

1

5

，解得t=±1．
因?yàn)?1∉[-

1

2

，+∞），1∈[-

1

2

，+∞），
所以符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題小題主要考查了直線，拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類討論與整合思想．