Question

已知橢圓的右準(zhǔn)線，離心率，，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為常數(shù)）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)且直線與斜率均存在時(shí)，求的最小值；
（3）若是線段的中點(diǎn)，且，問是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，若存在,求出的值和定點(diǎn)，;若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）;（2）;（3）,

試題分析：（1）根據(jù)題意由已知可得：，進(jìn)而求出基本量，得到橢圓方程; ;（2）由題中，可得中點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率即為,即可化簡(jiǎn)得：，結(jié)合基本不等式求最值，即由得;（3）由（2）中已求出，即，可化簡(jiǎn)得：，再結(jié)合條件，代入化簡(jiǎn)可得： ，最后由點(diǎn)在橢圓上可得： ，即，化簡(jiǎn)即P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓知識(shí)求出左、右焦點(diǎn)為．
（I）由題設(shè)可知：∴．又，∴．
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．                              5分
（2）設(shè)則由得．
∴ ． 
由得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)       10分
（3）．
∴．∴．                      11分
設(shè)，則由得  ，
即 y₂. 因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上，
所以 ．
所以. 即，所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，
設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，則由橢圓的定義得18，,                          16分